ايده دترمينان براي اولين بار در سال 1683 ظاهر شد . سكي (Seke) در كتاب حل مسائل فريبنده خود

روش هاي ماتريسي را به عنوان جدول هاي اعداد مشابه سبك چيني معرفي كرده است.سكي با

بكارگيري دترمينان ها قادر بود  دترمينان ماتريس هاي با مرتبه هاي بالا را نيز محاسبه كند و

روش هايش را در حل دستگاه معادلات چند مجهولي بكار گيرد.

همچنين ليبنيز (Leibniz) به صورتي قابل توجه در نامه اي به هوپيتال توضيح داد كه دستگاه معدلات

داراي جواب است اگر

منظور ليبنيز از اعداد بالا ضرايب عددي نبود .بلكه دو علامت بود كه اولي بيانگر شماره معادله و

دومي بيانگر متغيري است كه اين علامت به آن تعلق دارد.به عنوان مثال در عصر حاضر ممكن است

 بجاي 21 از نمادa₂₁  استفاده كنيم.مشاهده مي كنيم كه شرط فوق دقيقا همان شرط ناصفر بودن

 دترمينان ماتريس ضرايب را بيان مي كند.

حال ممكن است اين سوال پيش آيد كه دترمينان چيست و چگونه تعريف مي شود.

در جواب مي توان گفت D(A) يك تابع با خاصيت دترمينان است هرگاه چهار شرط زير را داشته باشد:

اگر هر ستون ماتريس A را با a_i نشان دهيم داریم:

با بررسي خواص دترميناني در توابع تنها يك تابع دترميناني مي توان يافت. اين تابع اينگونه تعريف

مي شود:

در اين ضابطه jشماره ستون در ماتريس است و iيكي از سطرهاي دلخواه است كه دترمينان را روي

درايه هاي آن سطر محاسبه مي كنيم.(براي سادگي محاسبه بهتر است سطري را انتخاب كنيم كه

بيشترين تعداد صفر را داشته باشد.)

A_ij  نيز ماتريسي است كه از حذف سطر iام و ستون jام از ماتريس A بدست مي آيد. اين عمل را

آنقدر تكرار مي كنيم تا A_ij يك ماتريس 2*2 شود . به اين ترتيب مي توان دترمينان ماتريس A  از هر

 مرتبه دلخواه را محاسبه كرد.

مثال: مي خواهيم دترمينان ماتريس                      را حساب كنيم.

فرمول محاسبه را بر حسب سطر اول بكار مي بريم:

همين طور اگر فرمول را بر حسب سطر دوم بسط دهيم جواب مشابه مي يابيم:

به عنوان تمرين دترمينان اين ماتريس را بر حسب سطر سوم پيدا كنيد.

عبارت  روبه رورا در نظر بگيريد.آيا مي توانيد مقدار آن را حدس بزنيد؟؟؟

.

.

.

.

:براي بررسي اين عبارت و محاسبه آن مي توان به اين صورت عمل كرد

مي توان اين عبارت را بصورت دنباله اي تعريف كردكه وبه ازاي  داريم

اين دنباله اي كه ساختيم اگر همگرا باشد آنگاه

براي آنكه نشان دهيم دنباله همگراست نشان مي دهيم كراندار و صعودي است (طبق قضيه يك دنباله همگراست هرگاه يكنوا و كراندار باشد.)براي اين منظور به كمك استقرا نشان مي دهيم

طبيعي واضح است n براي هر

همچنين با استقرا نشان مي دهيم دنباله مورد نظر صعودي است

پس دنباله ما صعودي و كراندار است و مي توان فرض كرد

اگر n عدد صحيح مثبتي باشد و را جمله به جمله در هم ضرب كنيم هر جمله حاصل ضربي از X ها و Y ها است

 زير را در نظر بگيريد:

در X+Y)³) ضرايب جملات 1 , 3 , 3 , 1 هستند كه به ترتيب جواب تركيبات بدست

 مي آيند.به صورت كلي تر اگر n عدد صحيح و مثبتي باشد و را جمله به جمله در هم ضرب كنيم

 ضريب X^n-rY برابر خواهد بود. يعني داريم:

  علامت Σ (سيگما) به معناي مجموع جملات عبارت روبروي Σ به ازاي rهاي 0 تا n  مي باشد و تركيب r

ازn بصورت زير محاسبه مي شود:

 اگر ضرايب پاسخ عبارت كه ..., n=1,2,3 باشد به صورت مرتب در سطرهاي جداگانه بنويسيم

 مثلثي به شكل زير بدست مي آوريم كه به مثلث خيام (پاسكال) معروف است. آيا مي توانيد يك رابطه

 بين اعداد اين جدول حدس بزنيد؟    

فرض كنيم A ,B>0دو عدد حقيقي باشند و( A^2-B) مربع کامل باشد. هر عبارت به

صورت√(A+√B) يا  √(A-√B)را يك راديكال مركب مي گويند.براي بدست آوردن جواب

چنين راديكال هايي لازم است ابتدا آنها را تجزيه كنيم.

براي تجزيه راديكال هاي مركب مي توان از فرمول زير استفاده كرد:

          مثال:

تمرين:حاصل را بدست آوريد:

نگاهی به آن بیاندازید.در رياضي، تانسور آرايه اي از اعداد است يعني يك سري اعداد كه به

 طور خاصي مرتب شدند يعني در يك جدول (نامحسوس) چيده شدند.

 اين جدول در حالت كلي مي تواند  به صورت... N x M x O x P x باشه كه حروف بزرگ هر

 كدام مي توانند نماينده يك عدد باشند و x نشان دهنده ي عمل ضرب بين آنهاست. مثلا

يك تانسور در ساده ترين حالت مي تواند يك عضو باشد  كه اين تانسور همان عدد معمولي

 كه در طول روز از آنها استفاده مي كنيم است. در حالت كمي پيشرفته تر تر تانسور مي تواند

 به صورت بردار باشد. يعني وقتي شما بردار A را به صورت(x,y,z) نشان مي دهيد در حقيقت

 يك تانسور  ۱*۳ داريد. در حالتي باز هم پيشرفته تر تانسور مي تواند دو بعدي باشد(به

 صورت ماتريسي) يعني مثلا جدول ما 2x2 باشه يعني دو سطر و دو ستون.

چنين تانسوري داراي  4 عضو است. به طور كلي تانسورهاي دو بعدي و بالاتر از دو بعد را با

 نام ماتريس هم مي شناسند كه مطمئنا با ماتريس ها و برخي خصوصيات آنها آشنا هستيد.

ماتريس ها از آن جهت مورد استفاده قرار مي گيرند كه باعث ايجاد نظم بين داده هاي يك

مسئله و دسته بندي اطلاعات مي شوند.

     اعداد اول اعداد  بسيار زيبا و جذابند و در عين حال معماي حيرت انگيز و سرگردان‌كننده اي را در برابر رياضي دانان مطرح ساخته اندتعريف اين اعداد كاملا ساده است، رفتار آنها در سلسله اعداد و نحوه ظاهر شدنشان در آن كاملابي‌نظم و فاقد قاعده به نظر مي‌آيد و هرچه شمار بيشتري از آنها شكارمي‌شوند، كار شكار عدد بعدي دشوارترمي‌شود طي قرنهاي متمادي رياضي دانان در شرق و غرب عالم به جستجوي راههايي براي دستيابي به اعداد اول برخاسته‌اند و با اين همه بهترين روشهايي كه تا بحال در اين زمينه ابداع شده چنان كند است كه حتي پر سرعت‌ترين كامپيوتر هاي كنوني نيز نمي‌توانند كمك چنداني در شكار اين اعداد شگفت انگيز كنند.

یکی از معمول ترین سئوالهائی که مطرح می شود این است که: چه

 کسی صفر را کشف کرد؟ البته برای جواب دادن به این سوال بدنبال

این نیستیم که بگويیم شخص خاصی صفر را ابداع و دیگران از آن زمان

 به بعد از آن استفاده می کردند.

اولین نکته شایان ذکر در مورد عدد صفر این است که این عدد دو کاربرد

دارد که هر دو بسیار مهم مي باشند یکی از کاربردهای عدد صفر این

 است که به عنوان نشانه ای برای نمايش هيچي در جدول ارزش

مکانی اعداد به کار می رود. بنابراین در عددی مانند 4104 عدد صفر

استفاده شده تا جایگاه اعداد در جدول مشخص شود که بطور قطع این

عدد با عدد 444 کاملاً متفاوت است. دومین کاربرد صفر این است که

خودش به عنوان عدد بکار می رود که ما به شکل عدد صفر از آن

استفاده می کنیم.

 فرض كنيد كه يك جفت خرگوش نر و ماده در پايان هر ماه يك جفت خرگوش

 نر و ماده جديد بدنيا بياورند ... اگر هيچ خرگوشي از بين نرود , در پايان يك

 سال چند جفت خرگوش وجود دارد؟؟؟

اگر اين عدد را در ۲ ضرب كنيم حاصل ۲۸۵۷۱۴ ميشود.(به ارزش مكاني ۱۴ توجه كنيد)

اگر اين عدد را در ۳ ضرب كنيم حاصل ۴۲۸۵۷۱ ميشود.(به ارزش مكاني ۱ توجه كنيد)

اگر اين عدد را در ۴ ضرب كنيم حاصل ۵۷۱۴۲۸ ميشود.(به ارزش مكاني ۵۷ توجه كنيد)

اگر اين عدد را در ۵ ضرب كنيم حاصل۷۱۴۲۸۵ميشود.(به ارزش مكاني ۷ توجه كنيد)

اگر اين عدد را در ۶ ضرب كنيم حاصل ۸۵۷۱۴۲ ميشود(سه رقم اول با سه رقم دوم جابه جا شده است)

اگر اين عدد را در۷ ضرب كنيم حاصل ۹۹۹۹۹۹ ميشود!!

جالبه!!نه؟

 را می کشید برای سرگرم کردن خودتان کاغذی را که در اطرافتان هست بردارید و شروع به

 تا  کردن آن کنید و بعد از چند بارمتوجه شوید که دیگر نمی شود کاغذ را تا کرد. در این صورت یا

 از تا کردن کاغذ منصرف می شوید یا آن را باز می کنید و دوباره شروع به تا کردنش می کنید...

 البته ممکن است قبل از اینکه به آن زمان برسید خبر مهم به شما داده شود  و کاغذ را به

جای اولش برگردانید !!!

این مسئله را همه ما تجربه کرده ایم اما شاید هیچ کدام از ما به طور جدی روی آن فکر نکرده

 باشیم. اگر ورق را هر بار طوری تا کنید که اندازه آن نصف شود بیش از 7 یا 8 بار نمی توانید

آن را تا کنید. مهم نیست ورق اولیه شما چقدر بزرگ باشد. شاید تا به حال این قضیه را شنیده

 باشید و سعی کرده باشید که آن را امتحان کنید و متوجه شده باشید که تا کردن کاغذ بیش از

7 یا 8 بار بسیار سخت است.  آیا می توان گفت که این اعداد یک محدودیت مستدل و عمومی

 برای تا کردن کاغذ هستند؟

فرض کنید شما کاغذی را انتخاب کرده اید که دارای پهنای w و ضخامت t است . اگر شما

شروع به تا کردن ورق از یک سمت بکنید وقتی به جایی برسید که دیگر نتوانید کاغذ را تا کنید

یک نوار باریک خواهید داشت.

با هر تا کردنی ضخامت کاغذ دو برابر می شود و پهنای آن نصف خواهد شد. یعنی بعد از N بار

تا کردن ضخامت  خواهد بود و البته مشخص است که پهنا  می شود و نسبت

 ضخامت به پهنا برابر  می شود.

اگر با کاغذی به پهنای 11cm و ضخامت 0.002cm این کار را انجام دهید بعد از 7 بار تا کردن

نسبتt/w برابر 1/6 می شود. این بدان معنیست که اندازه ضخامت از پهنا بیشتر می شود و

در نتیجه دیگر قادر به تا کردن کاغذ نخواهید بود. اگر این کاغذ را 50 بار بزرگتر کنید شاید بتوانید

آن را تا 10 بار هم تا کنید.

اگر به صورت متناوب کاغذ را از عرض و طول تا کنید ممکن است تعداد دفعات بیشتری بتوانید

 به تا کردن کاغذ ادامه دهید. در این صورت هر بارضخامت دو برابر می شود در صورتی که پهنا

 هر دو دفعه یک بار نصف می شود.

چندین سال پیش هنگامی که بریتنی گالیوان در دبیرستان درس می خواند با این مسئله رو به

 رو شد که چگونه کاغذی زا 12 بار تا کند . او باید برای گرفتن نمره از یکی از کلاسهایش این

 مسئله را حل می کرد. بعد از آزمایش راه های مختلف او موفق شد که ورقه نازکی از طلا را

12 بار تا کند. اما مسئله طرح شده در باره کاغذ بود و نه طلا.

گالیوان بر روی معادله تعداد دفعاتی که می توان یک کاغذ با اندازه معین را تا کرد کار کرد.

که در آن L کمترین درازای کاغذ، t میزان ضخامت کاغذ و n تعداد دفعاتی است که می توان

کاغذ را تا کرد. واحد t و L باید یکسان باشد.

براي يک طول و ضخامت معين عبارت  بيانگر آن است که صفحه بعد از n

بار تاکردن چند برابر کوچک شده است. با n=0 شروع می کنیم و به همین ترتیب به رشته ای

 از اعداد به اینصورت می رسیم:

0, 1, 4, 14, 50, 186, 714, 2794, 11050, 43946, 175274, 700074, 2798250, . . .

این به این معنی است که در تای دوازدهم 2798250 برابر مقدار کاغذی که در تای اول از

دست می رود از دست خواهد رفت.

گالیوان در کتابی با نام Historical Society of Pomona Valley چگونگی به دست آوردن این

معادله و تلاشش برای حل مشکل را توضیح داده است. بالاخره در June 2002 گالیوان یک

کاغذ بزرگ را 12 بار تا کرد.